[ Pobierz całość w formacie PDF ]
funkcją n + 1 zmiennych. Równanie x (t) = f(t, x(t)) zapisywać będziemy w dalszym
ciągu krótko w postaci
x = f(t, x). (1)
36 W.GrÄ…ziewicz RÓWNANIA RÓ%7Å‚NICZKOWE
Jeśli n = 1, to równanie (1) nazywa się równaniem skalarnym. Wszystkie poprzednio
rozpatrywane równania były równaniami skalarnymi. Jeżeli równanie (1) rozpiszemy po
współrzędnych, to otrzymamy układ n równań skalarnych
ñø
dx1
ôø
ôø
ôø = f1(t, x1, . . . , xn)
ôø
ôø
dt
òø
.
.
(2)
.
ôø
ôø
ôø
ôø dxn
ôø
óø
= fn(t, x1, . . . , xn).
dt
Definicja 3.1 RozwiÄ…zaniem równania (1) nazywamy funkcjÄ™ wektorowÄ… x(·) okreÅ›lonÄ…
i różniczkowalnÄ… na pewnym przedziale I0 ‚" I takÄ…, że
"t"I0 (x(t)) " &! i x (t) = f(t, x(t)).
RozwiÄ…zaniem ukÅ‚adu (2) nazywamy ukÅ‚ad funkcji skalarnych x1(·), . . . , xn(·) okreÅ›lonych
i różniczkowalnych na pewnym przedziale I0 ‚" I i speÅ‚niajÄ…cych warunki
"t"I0 x1(t), . . . , xn(t)) " &! i x i(t) = fi(t, x1(t), . . . , xn(t) , i = 1, . . . , n.
Zagadnienie Cauchy ego dla równania wektorowego (1) zapisuje się analogicznie jak
dla równania skalarnego:
x = f(t, x)
(C)
x(t0) = x0,
gdzie (t0, x0) " I × &!. Dla ukÅ‚adu (2) warunki poczÄ…tkowe majÄ… postać
x1(t0) = x01, . . . , xn(t0) = x0n,
gdzie t0 " I i (x01, . . . , x0n) " &! sÄ… danymi poczÄ…tkowymi.
Definicja 3.2 Całką ogólną układu (2) nazywamy rodzinę rozwiązań
x1 = x1(t, C1, . . . , Cn)
.
.
.
xn = xn(t, C1, . . . , Cn), t " I0
tego układu zależną od n parametrów C1, . . . , Cn, które można tak dobrać, by otrzymać
rozwiązanie zagadnienia (C) dla każdego układu wartości początkowych t0, (x10, . . . , xn0),
dla których rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne. Problem istnienia i jednoznaczności
rozwiązań układów równań różniczkowych omówiony będzie w następnym paragrafie.
W.GrÄ…ziewicz RÓWNANIA RÓ%7Å‚NICZKOWE 37
Szczególnym przypadkiem układów równań różniczkowych są układy liniowe. Ogólna
postać układu liniowego jest następująca
ñø
dx1
ôø
ôø
ôø = a11(t)x1 + . . . a1n(t)xn + b1(t)
ôø
ôø
dt
òø
.
.
(3)
.
ôø
ôø
ôø
ôø dxn
ôø
óø
= an1(t)x1 + . . . ann(t)xn + bn(t),
dt
gdzie aij(·) oraz bj(·) sÄ… danymi funkcjami ciÄ…gÅ‚ymi w I ‚" R. Powyższy ukÅ‚ad możemy
zapisać w postaci macierzowej
îø ùø
dx1 îø
ùø îø ùø îø ùø
ïø úø a11(t) . . . a1n(t) x1 b1(t)
dt
ïø úø
ïø
ïø . úø . . . .
.. . . úø · ïø . úø + ïø . úø
ïø úø ïø úø ïø úø
. .
ïø úø = (4)
. . . . .
ðø ûø ðø ûø ðø ûø
ïø úø
ðø ûø
dxn
an1(t) . . . ann(t) xn bn(t)
dt
lub krótko
dx
= A(t)x + b(t), t " I, (5)
dt
gdzie A(t) = [aij(t)]n×n jest macierzÄ… współczynników tego ukÅ‚adu, b(t) = [bj(t)]n×1
daną funkcją wektorową. Jeżeli b(t) = 0, to układ liniowy (5) nazywa się układem
jednorodnym. W przeciwnym wypadku jest to układ niejednorodny.
Do równań typu (1) można w szczególności doprowadzić równania skalarne n tego
rzędu. Rozpatrzmy równanie
x(n) = f t, x, x , . . . , x(n-1) , (6)
gdzie funkcja skalarna f jest ciÄ…gÅ‚a na zbiorze I × &! ‚" Rn+1. Oznaczamy niewiadomÄ…
funkcję x przez x1 i następnie wprowadzamy nowe funkcje x2, . . . , xn przyjmując
x2 = x 1 = x , x3 = x 2 = x , . . . , xn = x n-1 = x(n-1).
Wtedy
x n = x(n) = f(t, x1, x2, . . . , xn).
W ten sposób otrzymujemy układ równań
ñø
ôø
x 1 = x2
ôø
ôø
ôø
ôø
ôø
ôø x 2 = x3
ôø
òø
.
.
(7)
.
ôø
ôø
ôø
ôø
ôø x n-1 = xn
ôø
ôø
ôø
óø
x n = f(t, x1, x2, . . . , xn).
38 W.GrÄ…ziewicz RÓWNANIA RÓ%7Å‚NICZKOWE
OznaczajÄ…c teraz przez x(·) funkcjÄ™ wektorowÄ… o współrzÄ™dnych (x1(·), . . . , xn(·)) oraz
przyjmując f(t, x) = (x2, x3, . . . , xn, f(t, x1, x2, . . . , xn)) możemy układ (7) zapisać w po-
staci
x = f(t, x).
Pierwsza współrzędna szukanej funkcji wektorowej x jest szukaną funkcją skalarną z rów-
nania (6).
Równania różniczkowe wektorowe rzędu pierwszego postaci (1) obejmują więc dość sze-
roką klasę równań i układów równań różniczkowych. Wiele twierdzeń dotyczących równań
wektorowych można łatwo przenieść na układy równań różniczkowych skalarnych oraz na
równania skalarne wyższych rzędów.
3.2 Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności
W tej części sformułujemy podstawowe twierdzenia o istnieniu i jednoznaczości rozwią-
zań zagadnienia Cauchy ego dla równania wektorowego rzędu pierwszego. Dowody tych
twierdzeń, z powodu braku odpowiednich narzędzi teoretycznych, pominiemy.
Definicja 3.3 Mówimy, że funkcja wektorowa f : I × &! -’! Rn, gdzie &! ‚" Rn, speÅ‚nia
warunek Lipschitza ze względu na zmienną wektorową x jeżeli
"L>0 "t"I "x,x"&! f(t, x) - f(t, x) L x - x . (8)
Stała L występująca w tej definicji nazywa się stałą Lipschitza.
Aatwo zauważyć, że funkcja wektorowa f(t, x) = (f1(t, x1, . . . , xn), . . . , fn(t, x1, . . . , xn)),
speÅ‚nia na zbiorze I ×&! warunek Lipschitza wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej funkcje
[ Pobierz całość w formacie PDF ]